微 積 分 學(xué)

微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。

　　客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。

　　由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個創(chuàng)造。

微積分學(xué)的建立 

　　從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

　　公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

　　到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。

　　十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。

　　十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。

　　牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。

　　牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。

　　德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響�，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的。

　　微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。

　　前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。

　　不幸的事，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。英國數(shù)學(xué)在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。

　　其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。

　　應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。

　　直到１９世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，後來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。

　　任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西……

　　歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。

微積分的基本內(nèi)容

　　研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。

　　本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。

　　微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。

　　積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。

　　微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。