不量尺寸的幾何—拓撲學

拓撲學的由來

　　幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數(shù)學分支，它屬于幾何學的范疇。有關(guān)拓撲學的一些內(nèi)容早在十八世紀就出現(xiàn)了。那時候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。

　　在數(shù)學上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發(fā)展史的重要問題。

　　哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那么容易。

　　1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數(shù)學家歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經(jīng)過進一步的分析，歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。

　　在拓撲學的發(fā)展歷史中，還有一個著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個定理內(nèi)容是：如果一個凸多面體的頂點數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。

　　根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

　　著名的“四色問題”也是與拓撲學發(fā)展有關(guān)的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一。

　　四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”

　　1872年，英國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。1878～1880年兩年間，著名律師兼數(shù)學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來數(shù)學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

　　進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數(shù)學家并不滿足于計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。

　　上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題，但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學”的先聲。

什么是拓撲學？

　　拓撲學的英文名是Topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關(guān)學科。我國早期曾經(jīng)翻譯成“形勢幾何學”、“連續(xù)幾何學”、“一對一的連續(xù)變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統(tǒng)一的《數(shù)學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。

　　拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無關(guān)。

　　舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數(shù)。這些就是拓撲學思考問題的出發(fā)點。

　　拓撲性質(zhì)有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質(zhì)。

　　在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。左圖的三樣東西就是拓撲等價的，換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。

　　在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數(shù)目仍和原來的數(shù)目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。

　　應該指出，環(huán)面不具有這個性質(zhì)。比如像左圖那樣，把環(huán)面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓撲學中是不同的曲面。

　　直線上的點和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質(zhì)。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也是拓撲性質(zhì)。

　　我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數(shù)學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿兩個側(cè)面。

　　拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這里不在介紹。

　　拓撲學建立后，由于其它數(shù)學學科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓撲學概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進了拓撲學的進展。

　　二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關(guān)于任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。

　　因為大量自然現(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓撲學具有廣泛聯(lián)系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。本世紀三十年代以后，數(shù)學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年，美籍中國數(shù)學家陳省身建立了代數(shù)拓撲和微分幾何的聯(lián)系，并推進了整體幾何學的發(fā)展。

　　拓撲學發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫做代數(shù)拓撲。現(xiàn)在，這兩個分支又有統(tǒng)一的趨勢。

　　拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數(shù)學分支中都有廣泛的應用。