數 學 概 覽

數學是研究現實世界中數量關系和空間形式的科學。簡單地說，就是研究數和形的科學。

　　由于生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數，并由用手指或實物計數發展到用數字計數。在中國，最遲在商代，即已出現用十進制數字表示大數的方法；至秦漢之際，即已出現完滿的十進位制。在不晚于公元一世紀的《九章算術》中，已載了只有位值制才有可能進行的開平方、開立方的計算法則，并載有分數的各種運算以及解線性聯立方程組的方法，還引入了負數概念。

　　劉徽在他注解的《九章算術》中，還提出過用十進制小數表示無理數平方根的奇零部分，但直至唐宋時期(歐洲則在16世紀斯蒂文以后)十進制小數才獲通用。在這本著作中，劉徽又用圓內接正多邊形的周長逼近圓周長，成為后世求圓周率的一般方法。

　　雖然中國從來沒有過無理數或實數的一般概念，但在實質上，那時中國已完成了實數系統的一切運算法則與方法，這不僅在應用上不可缺，也為數學初期教育所不可少。至于繼承了巴比倫、埃及、希臘文化的歐洲地區，則偏重于數的性質及這些性質間的邏輯關系的研究。

　　早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素數的概念和素數個數無窮及整數惟一分解等論斷。古希臘發現了有非分數的數，即現稱的無理數。16世紀以來，由于解高次方程又出現了復數。在近代，數的概念更進一步抽象化，并依據數的不同運算規律，對一般的數系統進行了獨立的理論探討，形成數學中的若干不同分支。

　　開平方和開立方是解最簡單的高次方程所必須用到的運算。在《九章算術》中，已出現解某種特殊形式的二次方程。發展至宋元時代，引進了“天元”(即未知數)的明確觀念，出現了求高次方程數值解與求多至四個未知數的高次代數聯立方程組的解的方法，通稱為天元術與四元術。與之相伴出現的多項式的表達、運算法則以及消去方法，已接近于近世的代數學。

　　在中國以外，九世紀阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數學的鼻祖，其解法實質上與中國古代依賴于切割術的幾何方法具有同一風格。中國古代數學致力于方程的具體求解，而源于古希臘、埃及傳統的歐洲數學則不同，一般致力于探究方程解的性質。

　　16世紀時，韋達以文字代替方程系數，引入了代數的符號演算。對代數方程解的性質進行探討，是從線性方程組引出的行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現；從代數方程導致復數、對稱函數等概念的引入以至伽羅華理論與群論的創立。而近代極為活躍的代數幾何，則無非是高次聯立代數方程組解所構成的集合的理論研究。

　　形的研究屬于幾何學的范疇。古代民族都具有形的簡單概念，并往往以圖畫來表示，而圖形之所以成為數學對象是由于工具的制作與測量的要求所促成的。規矩以作圓方，中國古代夏禹泊水時即已有規、矩、準、繩等測量工具。

　　墨經》中對一系列的幾何概念，有抽象概括，作出了科學的定義。《周髀算經》與劉徽的《海島算經》給出了用矩觀測天地的一般方法與具體公式。在《九章算術》及劉徽注解的《九章算術》中，除勾股定理外，還提出了若干一般原理以解決多種問題。例如求任意多邊形面積的出入相補原理；求多面體的體積的陽馬鱉需的二比一原理(劉徽原理)；5世紀祖(日恒)提出的用以求曲形體積特別是球的體積的“冪勢既同則積不容異”的原理；還有以內接正多邊形逼近圓周長的極限方法(割圓術)。但自五代(約10世紀)以后，中國在幾何學方面的建樹不多。

　　中國幾何學以測量和計算面積、體積的量度為中心任務，而古希臘的傳統則是重視形的性質與各種性質間的相互關系。歐幾里得的《幾何原本》，建立了用定義、公理、定理、證明構成的演繹體系，成為近代數學公理化的楷模，影響遍及于整個數學的發展。特別是平行公理的研究，導致了19世紀非歐幾何的產生。

　　歐洲自文藝復興時期起通過對繪畫的透視關系的研究，出現了射影幾何。18世紀，蒙日應用分析方法對形進行研究，開微分幾何學的先河。高斯的曲面論與黎曼的流形理論開創了脫離周圍空間以形作為獨立對象的研究方法；19世紀克萊因以群的觀點對幾何學進行統一處理。此外，如康托爾的點集理論，擴大了形的范圍；龐加萊創立了拓撲學，使形的連續性成為幾何研究的對象。這些都使幾何學面目一新。

　　在現實世界中，數與形，如影之隨形，難以分割。中國的古代數學反映了這一客觀實際，數與形從來就是相輔相成，并行發展的。例如勾股測量提出了開平方的要求，而開平方、開立方的方法又奠基于幾何圖形的考慮。二次、三次方程的產生，也大都來自幾何與實際問題。至宋元時代，由于天元概念與相當于多項式概念的引入，出現了幾何代數化。

　　在天文與地理中的星表與地圖的繪制，已用數來表示地點，不過并未發展到坐標幾何的地步。在歐洲，十四世紀奧爾斯姆的著作中已有關于經緯度與函數圖形表示的萌芽。十七世紀笛卡爾提出了系統的把幾何事物用代數表示的方法及其應用。在其啟迪之下，經萊布尼茨、牛頓等的工作，發展成了現代形式的坐標制解析幾何學，使數與形的統一更臻完美，不僅改變了幾何證題過去遵循歐幾里得幾何的老方法，還引起了導數的產生，成為微積分學產生的根源。這是數學史上的一件大事。

　　在十七世紀中，由于科學與技術上的要求促使數學家們研究運動與變化，包括量的變化與形的變換(如投影)，還產生了函數概念和無窮小分析即現在的微積分，使數學從此進入了一個研究變量的新時代。

　　十八世紀以來，以解析幾何與微積分這兩個有力工具的創立為契機，數學以空前的規模迅猛發展，出現了無數分支。由于自然界的客觀規律大多是以微分方程的形式表現的，所以微分方程的研究一開始就受到很大的重視。

　　微分幾何基本上與微積分同時誕生，高斯與黎曼的工作又產生了現代的微分幾何。19、20世紀之交，龐加萊創立了拓撲學，開辟了對連續現象進行定性與整體研究的途徑。對客觀世界中隨機現象的分析，產生了概率論。第二次世界大戰軍事上的需要，以及大工業與管理的復雜化產生了運籌學、系統論、控制論、數理統計學等學科。實際問題要求具體的數值解答，產生了計算數學。選擇最優途徑的要求又產生了各種優化的理論、方法。

　　力學、物理學同數學的發展始終是互相影響互相促進的，特別是相對論與量子力學推動了微分幾何與泛函分析的成長。此外在19世紀還只用到一次方程的化學和幾乎與數學無緣的生物學，都已要用到最前沿的一些數學知識。

　　十九世紀后期，出現了集合論，還進入了一個批判性的時代，由此推動了數理邏輯的形成與發展，也產生了把數學看作是一個整體的各種思潮和數學基礎學派。特別是1900年，德國數學家希爾伯特在第二屆國際數學家大會上的關于當代數學重要問題的演講，以及三十年代開拓的，以結構概念統觀數學的法國布爾巴基學派的興起，對二十世紀數學的發展產生了巨大、深遠的影響，科學的數學化一語也開始為人們所樂道。

　　數學的外圍向自然科學、工程技術甚至社會科學中不斷滲透擴大，并從中吸取營養，出現了一些邊緣數學。數學本身的內部需要也孽生了不少新的理論與分支。同時其核心部分也在不斷鞏固提高并有時作適當調整以適應外部需要。總之，數學這棵大樹茁壯成長，既枝葉繁茂又根深蒂固。

　　在數學的蓬勃發展過程中，數與形的概念不斷擴大且日趨抽象化，以至于不再有任何原始計數與簡單圖形的蹤影。雖然如此，在新的數學分支中仍有著一些對象和運算關系借助于幾何術語來表示。如把函數看成是某種空間的一個點之類。這種做法之所以行之有效，歸根結底還是因為數學家們已經熟悉了那種簡易的數學運算與圖形關系，而后者又有著長期深厚的現實基礎。而且，即使是最原始的數字如1、2、3、4，以及幾何形象如點與直線，也已經是經過人們高度抽象化了的概念。因此如果把數與形作為廣義的抽象概念來理解，則前面提到的把數學作為研究數與形的科學這一定義，對于現階段的近代數學，也是適用的。

　　由于數學研究對象的數量關系與空間形式都來自現實世界，因而數學盡管在形式上具有高度的抽象性，而實質上總是扎根于現實世界的。生活實踐與技術需要始終是數學的真正源泉，反過來，數學對改造世界的實踐又起著重要的、關鍵性的作用。理論上的豐富提高與應用的廣泛深入在數學史上始終是相伴相生，相互促進的。

　　但由于各民族各地區的客觀條件不同，數學的具體發展過程是有差異的。大體說來，古代中華民族以竹為籌，以籌運算，自然地導致十進位值制的產生。計算方法的優越有助于對實際問題的具體解決。由此發展起來的數學形成了一個以構造性、計算性、程序化與機械化為其特色，以從問題出發進而解決問題為主要目標的獨特體系。而在古希臘則著重思維，追求對宇宙的了解。由此發展成以抽象了的數學概念與性質及其相互間的邏輯依存關系為研究對象的公理化演繹體系。

　　中國的數學體系在宋元時期達到高峰以后，開始陷于停頓且幾至消失。而在歐洲，經過文藝復興運動、宗教革命、資產階級革命等一系列的變革，導致了工業革命與技術革命。機器的使用，不論中外都由來已久。但在中國，則由于明初被帝王斥為奇技淫巧而受阻抑。

　　在歐洲，則由于工商業的發展與航海的刺激而得到發展，機器使人們從繁重的體力勞動中解放出來，并引導到理論力學和一般的運動和變化的科學研究。當時的數學家都積極參與了這些變革以及相應數學問題的解決，產生了積極的效果。解析幾何與微積分的誕生，成為數學發展的一個轉折點。17世紀以來數學的飛躍，大體上可以看成是這些成果的延續與發展。

　　20世紀出現了各種嶄新的技術，產生了新的技術革命，特別是電子計算機的出現，使數學又面臨了一個新的時代。這一時代的特點之一就是部分腦力勞動的逐步機械化。與17世紀以來以圍繞連續、極限等概念為主導思想與方法的數學不同，由于計算機研制與應用的需要，離散數學與組合數學開始受到重視。

　　計算機對數學的作用已不僅僅只限于數值計算，也開始更多的涉及符號運算(包括機器證明等數學研究)。為了與計算機更好地配合，數學對于構造性、計算性、程序化與機械化的要求也顯得頗為突出。

　　例如，代數幾何是一門高度抽象化的數學，而最近出現的計算性代數幾何與構造性代數幾何的提法，即其端倪之一。總之，數學正隨著新的技術革命而不斷發展。