6174猜想

1955年,卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了對四位數的一種變換:任給出四位數k0,用它的四個數字由大到小重新排列成一個四位數m,再減去它的反序數rev(m),得出數k1=m-rev(m),然后,繼續對k1重復上述變換,得數k2.如此進行下去,卡普耶卡發現,無論k0是多大的四位數, 只要四個數字不全相同,最多進行7次上述變換,就會出現四位數6174.例如:

　　k0=5298,k1=9852-2589=7263,k2=7632-2367=5265,k3=6552-2556=3996,k4=9963-3699=6264,k5=6642-2466=4176,k6=7641-1467=6174.

　　后來,這個問題就流傳下來,人們稱這個問題為"6174問題",上述變換稱為卡普耶卡變換,簡稱 K 變換.

　　一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四個不全相等的數字組成一個整數k0(不一定是四位數),然后從k0開始不斷地作K變換,得出數k1,k2,k3,...,則必有某個m(m=<7),使得km=6174.

　　更一般地,從0,1,2,...,9中任取n個不全相同的數字組成一個十進制數k0(不一定是n位數),然后,從k0開始不斷地做K變換,得出k1,k2,...,那么結果會是怎樣的呢?現在已經知道的是:

　　n=2,只能形成一個循環:(27,45,09,81,63).例如取兩個數字7與3,連續不斷地做K變換,得出:36,27,45,09,81,27,...出現循環.

　　n=3,只能形成一個循環:(495).

　　n=4,只能形成一個循環:(6174).

　　n=5,已經發現三個循環:(53855,59994),(62964,71973,83952,74943),(63954,61974,82962,75933).

　　n=6,已經發現三個循環:(642654,...),(631764,...),(549945,...).

　　n=7,已經發現一個循環:(8719722,...).

　　n=8,已經發現四個循環:(63317664),(97508421),(83208762,...),(86308632,...)

　　n=9,已經發現三個循環:(864197532),(975296421,...),(965296431,...)

　　容易證明,對于任何自然數n>=2,連續做K變換必定要形成循環.這是因為由n個數字組成的數只有有限個的緣故.但是對于n>=5,循環的個數以及循環的長度(指每個循環中所包含數的個數)尚不清楚,這也是國內一些數學愛好者熱衷于研究的一個課題.