初等代數從最簡單的一元一次方程開始，一方面進而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉化為二次的方程組。沿著這兩個方向繼續發展，代數在討論任意多個未知數的一次方程組，也叫線型方程組的同時還研究次數更高的一元方程組。發展到這個階段，就叫做高等代數。

　　高等代數是代數學發展到高級階段的總稱，它包括許多分支。現在大學里開設的高等代數，一般包括兩部分：線性代數初步、多項式代數。

　　高等代數在初等代數的基礎上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁復。

　　集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數值還同時具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運算的規則的集合。向量空間中的運算對象已經不只是數，而是向量了，其運算性質也由很大的不同了。

高等代數發展簡史

　　代數學的歷史告訴我們，在研究高次方程的求解問題上，許多數學家走過了一段頗不平坦的路途，付出了艱辛的勞動。

　　人們很早就已經知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關于三次方程，我國在公元七世紀，也已經得到了一般的近似解法，這在唐朝數學家王孝通所編的《緝古算經》就有敘述。到了十三世紀，宋代數學家秦九韶再他所著的《數書九章》這部書的“正負開方術”里，充分研究了數字高次方程的求正根法，也就是說，秦九韶那時候以得到了高次方程的一般解法。

　　在西方，直到十六世紀初的文藝復興時期，才由有意大利的數學家發現一元三次方程解的公式——卡當公式。

　　在數學史上，相傳這個公式是意大利數學家塔塔里亞首先得到的,后來被米蘭地區的數學家卡爾達諾(1501～1576)騙到了這個三次方程的解的公式，并發表在自己的著作里。所以現在人們還是叫這個公式為卡爾達諾公式(或稱卡當公式)，其實，它應該叫塔塔里亞公式。

　　三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費拉里(1522～1560)解出。這就很自然的促使數學家們繼續努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個問題雖然耗費了許多數學家的時間和精力，但一直持續了長達三個多世紀，都沒有解決。

　　到了十九世紀初，挪威的一位青年數學家阿貝爾(1802～1829)證明了五次或五次以上的方程不可能有代數解。既這些方程的根不能用方程的系數通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數運算表示出來。阿貝爾的這個證明不但比較難，而且也沒有回答每一個具體的方程是否可以用代數方法求解的問題。

　　后來，五次或五次以上的方程不可能有代數解的問題，由法國的一位青年數學家伽羅華徹底解決了。伽羅華20歲的時候，因為積極參加法國資產階級革命運動，曾兩次被捕入獄，1832年4月，他出獄不久，便在一次私人決斗中死去，年僅21歲。

　　伽羅華在臨死前預料自己難以擺脫死亡的命運，所以曾連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數學研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發現。有些是關于方程論的；有些是關于整函數的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性而是對這些定理的重要性發表意見。我希望將來有人發現消除所有這些混亂對它們是有益的。”

　　伽羅華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發表在《百科評論》中。他的論文手稿過了14年，才由劉維爾(1809～1882)編輯出版了他的部分文章，并向數學界推薦。

　　隨著時間的推移，伽羅華的研究成果的重要意義愈來愈為人們所認識。伽羅華雖然十分年輕，但是他在數學史上做出的貢獻，不僅是解決了幾個世紀以來一直沒有解決的高次方程的代數解的問題，更重要的是他在解決這個問題中提出了“群”的概念，并由此發展了一整套關于群和域的理論，開辟了代數學的一個嶄新的天地，直接影響了代數學研究方法的變革。從此，代數學不再以方程理論為中心內容，而轉向對代數結構性質的研究，促進了代數學的進一步的發展。在數學大師們的經典著作中，伽羅華的論文是最薄的，但他的數學思想卻是光輝奪目的。

高等代數的基本內容

　　代數學從高等代數總的問題出發，又發展成為包括許多獨立分支的一個大的數學科目，比如：多項式代數、線性代數等。代數學研究的對象，也已不僅是數，還有矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算。雖然也叫做加法或乘法，但是關于數的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數學的內容可以概括為研究帶有運算的一些集合，在數學中把這樣的一些集合叫做代數系統。比如群、環、域等。

　　多項式是一類最常見、最簡單的函數，它的應用非常廣泛。多項式理論是以代數方程的根的計算和分布作為中心問題的，也叫做方程論。研究多項式理論，主要在于探討代數方程的性質，從而尋找簡易的解方程的方法。

　　多項式代數所研究的內容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。這些大體上和中學代數里的內容相同。多項式的整除性質對于解代數方程是很有用的。解代數方程無非就是求對應多項式的零點，零點不存在的時候，所對應的代數方程就沒有解。

　　我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程的代數就叫做線性代數。在線性代數中最重要的內容就是行列式和矩陣。

　　行列式的概念最早是由十七世紀日本數學家關孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，標題的意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展開已經有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數學家萊布尼茨。德國數學家雅可比于1841年總結并提出了行列式的系統理論。

　　行列式有一定的計算規則，利用行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式，因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式，也就是說行列式代表著一個數。

　　因為行列式要求行數等于列數，排成的表總是正方形的，通過對它的研究又發現了矩陣的理論。矩陣也是由數排成行和列的數表，可以行數和烈數相等也可以不等。

　　矩陣和行列式是兩個完全不同的概念，行列式代表著一個數，而矩陣僅僅是一些數的有順序的擺法。利用矩陣這個工具，可以把線性方程組中的系數組成向量空間中的向量；這樣對于一個多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關系等等一系列理論上的問題，就都可以得到徹底的解決。矩陣的應用是多方面的，不僅在數學領域里，而且在力學、物理、科技等方面都十分廣泛的應用。

　　代數學研究的對象，不僅是數，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算，雖然也叫做加法或乘法，但是關于數的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數學的內容可以概括稱為帶有運算的一些集合，在數學中把這樣的一些集合，叫做代數系統。比較重要的代數系統有群論、環論、域論。群論是研究數學和物理現象的對稱性規律的有力工具。現在群的概念已成為現代數學中最重要的，具有概括性的一個數學的概念，廣泛應用于其他部門。

高等代數與其他學科的關系

　　代數學、幾何學、分析數學是數學的三大基礎學科，數學的各個分支的發生和發展，基本上都是圍繞著這三大學科進行的。那么代數學與另兩門學科的區別在哪兒呢？

　　首先，代數運算是有限次的，而且缺乏連續性的概念，也就是說，代數學主要是關于離散性的。盡管在現實中連續性和不連續性是辯證的統一的，但是為了認識現實，有時候需要把它分成幾個部分，然后分別地研究認識，在綜合起來，就得到對現實的總的認識。這是我們認識事物的簡單但是科學的重要手段，也是代數學的基本思想和方法。代數學注意到離散關系，并不能說明這時它的缺點，時間已經多次、多方位的證明了代數學的這一特點是有效的。

　　其次，代數學除了對物理、化學等科學有直接的實踐意義外，就數學本身來說，代數學也占有重要的地位。代數學中發生的許多新的思想和概念，大大地豐富了數學的許多分支，成為眾多學科的共同基礎。