（1）羅素悖論

　　一天，薩維爾村理發師掛出了一塊招牌：村里所有不自己理發的男人都由我給他理發。于是有人問他：“您的頭發誰給理呢？”理發師頓時啞口無言。

　　1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到十九世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎上了。就在這時，集合論接連出現了一系列自相矛盾的結果。特別是1902年羅素提出理發師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。于是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數學危機”。此后，為了克服這些悖論，數學家們做了大量研究工作，由此產生了大批新成果，也帶來了數學觀念的革命。

（2）說謊者悖論：

　　“我正在說的這句話是慌話。”公元前四世紀的希臘數學家歐幾里德提出的這個悖論，至今還在困擾著數學家和邏輯學家。這就是著名的說慌者悖論。類似的悖論最早是在公元前六世紀出現的，當時克里特島哲學家愛皮梅尼特曾說過：“所有的克里特島人都說慌。”在中國古代《墨經》中，也有一句十分相似的話：“以言為盡悖，悖，說在其言。”意思是：以為所有的話都是錯的，這是錯的，因為這本身就是一句話。

　　說慌者悖論有多種變化形式，例如，在同一張紙上寫出下列兩句話：

　　下一句話是慌話。

　　上一句話是真話。

　　更有趣的是下面的對話。甲對乙說：“你下面要講的是‘不’，對不對？請用‘是’或‘不’來回答！”

　　還有一個例子。有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什么事都做得到。一位過路人問了一句話：“上帝能創造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎？”