公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，提出了以下的猜想：“任何不小于4的整數(shù)都可以表示成兩個(gè)或兩個(gè)以上的素?cái)?shù)之和”(與現(xiàn)今表達(dá)有出入，原因是哥德巴赫認(rèn)為1也是素?cái)?shù)，參見書信復(fù)印件的圖示)。

　　現(xiàn)今的表達(dá)方式有

　　任何一個(gè)大于2的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。(A) (例: 4 = 2 + 2)
　　任何一個(gè)不小于9的奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。(B) (例: 9 = 3 + 3 + 3)
　　任何一個(gè)大于5的奇數(shù)(偶數(shù)亦可)，都可以表示成三個(gè)素?cái)?shù)之和。(C) (例: 7 = 2 + 2 + 3 ；6 = 2 + 2 + 2)
　　其中，猜想A是歐拉在回信中使用的表達(dá)，被稱為二重哥德巴赫猜想或強(qiáng)猜想，猜想B與猜想C被稱為三重歌德巴赫猜想或弱猜想。通過初等的代數(shù)變換，可以知道A是B與C的充分條件，即若A正確即可推出B以及C正確。

　　關(guān)于該猜想最初的突破來自俄國的維諾格拉多夫，他用圓法和指數(shù)和估計(jì)無條件地證明了猜想B是正確的。他證明了每一個(gè)充分大的奇數(shù)都可以表示成三個(gè)奇素?cái)?shù)的和。這里，充分大的下限可表示為大約10的400次方。于是關(guān)于猜想B的證明便歸結(jié)為驗(yàn)證小于該數(shù)的每一個(gè)奇數(shù)。

　　1966年，陳景潤證明了“1 + 2”，也就是：“任何一個(gè)足夠大的偶數(shù)，都可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”。

　　試圖證明
　　就像許多著名的數(shù)學(xué)未解問題，對(duì)哥德巴赫猜想有不少宣稱的證明，但都未為數(shù)學(xué)界所接受。

　　因?yàn)楦绲掳秃詹孪肴菀诪樾型馊死斫�，這一直是偽數(shù)學(xué)家一個(gè)很普遍的目標(biāo)。他們?cè)噲D證明它，或有時(shí)試圖反證它，使用的僅是高中數(shù)學(xué)。它和四色定理和費(fèi)馬最后定理遭遇相同，后兩問題都易于敘述，但其證明則非一般地繁復(fù)。

　　像哥德巴赫猜想這類問題，不能排除以簡(jiǎn)單方法解決的可能，但以專業(yè)數(shù)學(xué)家對(duì)這類問題所花費(fèi)的大量精力，第一個(gè)證明并不可能容易得出。

　　從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗(yàn)證了3300萬以內(nèi)的所有偶數(shù)，竟然沒有一個(gè)不符合哥德巴赫猜想的。20世紀(jì)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想對(duì)于更大的數(shù)依然成立。可是自然數(shù)是無限的，誰知道會(huì)不會(huì)在某一個(gè)足夠大的偶數(shù)上，突然出現(xiàn)哥德巴赫猜想的反例呢？于是人們逐步改變了探究問題的方式。

　　1900年，20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特，在國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上把“哥德巴赫猜想”列為23個(gè)數(shù)學(xué)難題之一。此后，20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?cè)谑澜绶秶鷥?nèi)“聯(lián)手”進(jìn)攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終于取得了輝煌的成果。

　　20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數(shù)學(xué)方法。解決這個(gè)猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最后的結(jié)果。

　　1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了定理“9＋9”，由此劃定了進(jìn)攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個(gè)“9＋9”是怎么回事呢？所謂“9＋9”，翻譯成數(shù)學(xué)語言就是：“任何一個(gè)足夠大的偶數(shù)，都可以表示成其它兩個(gè)數(shù)之和，而這兩個(gè)數(shù)中的每個(gè)數(shù)，都是9個(gè)奇質(zhì)數(shù)之乘積�！� 從這個(gè)“9＋9”開始，全世界的數(shù)學(xué)家集中力量“縮小包圍圈”，當(dāng)然最后的目標(biāo)就是“1＋1”了。

　　1924年，德國數(shù)學(xué)家雷德馬赫證明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4”和“3＋3”逐一被攻陷。1957年，中國數(shù)學(xué)家王元證明了“2＋3”。1962年，中國數(shù)學(xué)家潘承洞證明了“1＋5”，同年又和王元合作證明了“1＋4”。1965年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家證明了“1＋3”。

　　1966年，中國數(shù)學(xué)家陳景潤攻克了“1＋2”，也就是：“任何一個(gè)足夠大的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)數(shù)之和，而這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)就是奇質(zhì)數(shù)，另一個(gè)則是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的乘積�！边@個(gè)定理被世界數(shù)學(xué)界稱為“陳氏定理”。

　　由于陳景潤的貢獻(xiàn)，人類距離哥德巴赫猜想的最后結(jié)果“1＋1”僅有一步之遙了。但為了實(shí)現(xiàn)這最后的一步，也許還要?dú)v經(jīng)一個(gè)漫長(zhǎng)的探索過程。有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，要想證明“1＋1”，必須通過創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法，以往的路很可能都是走不通的。

　　民間數(shù)學(xué)愛好者的嘗試
　　有很多非專業(yè)數(shù)學(xué)愛好者試圖證明這個(gè)猜想，但是這些證明往往被看作民間“猜想”愛好者不自量力的舉動(dòng)。專業(yè)數(shù)學(xué)研究者認(rèn)為證明這一猜想需要深刻的數(shù)論理論知識(shí)，然而幾乎所有的民間數(shù)學(xué)愛好者的“證明”使用的數(shù)學(xué)工具往往僅僅是初等數(shù)學(xué)或者微積分。對(duì)此專業(yè)人士認(rèn)為，依*這些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具是無法證明哥德巴赫猜想的，并且因此而希望民間愛好者停止嘗試。